Zadania z EK2. Seria 5. Heteroskedastyczność

Zad. 1 Oszacowano następujące parametry modelu

C_{i} = β_{1} + β_{2}GNP_{i} + β_{3}D_{i} + ε_{i} i uzyskano
Ĉ_{i} = 26, 19 + 0, 6428GNP_{i} − 0, 4398D_{i}, R^{2} = 0, 999
σ̂_{b_{0}} = 2, 73, σ̂_{b_{1}} = 0, 006, σ̂_{b_{2}} = 0, 0736.

Celem badania było określenie wpływu wydatków na zbrojenia na wielkość konsumpcji indywidualnej. Zakładając, iż σ_{i}^{2} = σ^{2}(GNP_{i})^{2}, przekształcono model wyjściowy i na podstawie danych za lata 1946-1975 estymowano parametry następującego równania:

\frac{C_{i}}{GNP_{i}} = β_{1} \frac{1}{GNP_{i}} + β_{2} + β_{3} \frac{D_{i}}{GNP_{i}} + u_{i},

gdzie u_{i} = \frac{ε_{i}}{GNP_{i}}. Otrzymano

\frac{C_{i}}{ĜNP_{i}} = 25, 92\frac{1}{GNP_{i}} + 6246, 0 − 0, 4315\frac{D_{i}}{GNP_{i}} , R^{2} = 0, 875

σ̂_{0} = 2, 22, σ̂_{1} = 0, 0068, σ̂_{2} = 0, 0597

• Porównaj wyniki estymacji modelu parametrów obydwu wariantów modelu. Czy przekształcenie modelu wyjściowego zmniejszyło oszacowania błędów standardowych estymatorów?

• Czy można porównać współczynniki determinacji w obydwu modelach?

Zad 2. Rozważ następujący model konsumpcji

C_{i} = α_{0} + α_{1}Y_{i} + α_{2}A_{i} + ε_{i}, przy czym D^{2}(ε_{i}) = σ_{ε}^{2}Y_{i}^{2}

• Przekształcić powyższy model do postaci w której składnik losowy jest homoskedastyczny.

• Udowodnij, że wariancja składnika losowego w przekształconym modelu jest równa σ_{ε}^{2} a zatem jest on homoskedastyczny.

Zad. 3 Dokonano estymacji KMNK parametrów funkcji uzależniającej wielkość importu maszyn i urządzeń (M) od nakładów inwestycyjnych na maszyny i urządzenia (J): M_{i} = α_{0} +α_{1}J_{i} +ε_{i}, gdzie ε oznacza składnik losowy, na podstawie następujących danych:

\begin{matrix}t & M & J & t & M & J \\ 1970 & 17 & 37 & 1980 & 23 & 124 \\ 1971 & 20 & 39 & 1981 & 27 & 132 \\ 1972 & 19 & 44 & 1982 & 25 & 149 \\ 1973 & 20 & 46 & 1983 & 30 & 158 \\ 1974 & 19 & 49 & 1984 & 32 & 174 \\ 1975 & 20 & 56 & 1985 & 28 & 182 \\ 1976 & 21 & 66 & 1986 & 31 & 193 \\ 1977 & 22 & 81 & 1987 & 29 & 189 \\ 1978 & 24 & 93 & 1988 & 33 & 190 \\ 1979 & 24 & 110 & 1989 & 27 & 189 \end{matrix}

Zbadaj własności estymatorów parametrów modelu, jeśli estymacje oparto na pełnej próbie przy założeniu, że w latach 1977-1989 występowały trudności w finansowaniu inwestycji. Zad 4. Badano, czy w dwóch różnych zbiorowościach wariancje składnika losowego są podobne. Otrzymano oszacowania estymatorów wariancji reszt empirycznych, po czym stwierdzono, że ich iloraz wynosi 0, 11. Wartość krytyczna testu F, którą odczytano z tablic dla odpowiednich liczebności oraz liczby stopni swobody, wynosiła 5, 8. Jaką decyzję należy podjąć na podstawie tego testu ? Zad 5. Dokonano estymacji parametrów identycznie skonstruowanych modeli zawierających cztery zmienne objaśniające, opierając się na 34-elementowych skrajnych podpróbach szeregów czasowych liczących po 150 obserwacji. Zmienna objaśniana charakteryzowała się systematycznym wzrostem. Zbadaj własności estymatorów, których wartości zostały otrzymane na podstawie pełnej próby wiedząc, że: σ̂_{1}^{2} = 37, 7, σ̂_{2}^{2} = 107, 3. Zad 6. Załóżmy, że badacz ma dokonać estymacji parametrów strukturalnych modelu: Y_{i} = α_{0} +α_{1}X_{i} + ε_{i}. Ze względu na operowanie danymi przekrojowymi istnieje uzasadnione podejrzenie o występowaniu niejednorodności wariancji składnika losowego ε_{i}. Opisz jak powinna wyglądać procedura testowania hipotez przy założeniu, że należy skorzystać z testu Goldfelda-Quandta. Dane wykorzystane w badaniu zawiera tabela:

\begin{matrix}i & Y & X & i & Y & X \\ 1 & 0, 426 & 0, 550 & 9 & 0, 624 & 0, 663 \\ 2 & 0, 363 & 0, 404 & 10 & 0, 672 & 0, 752 \\ 3 & 0, 622 & 0, 691 & 11 & 0, 777 & 0, 800 \\ 4 & 0, 100 & 0, 277 & 12 & 0, 244 & 0, 359 \\ 5 & 0, 111 & 0, 283 & 13 & 0, 300 & 0, 397 \\ 6 & 0, 806 & 0, 847 & 14 & 0, 605 & 0, 604 \\ 7 & 0, 666 & 0, 763 & 15 & 0, 727 & 0, 794 \\ 8 & 0, 882 & 0, 946 & 16 & 0, 427 & 0, 544 \end{matrix}

Zad 7. Na podstawie danych przekrojowych dokonano estymacji parametrów modelu y_{i} = α+α_{1}x_{i} +ε_{i}. Ponadto dokonano podziału próby na 3 podpróby i oszacowano na ich podstawie parametry modelu wyspecyfikowanego tak samo jak model wyjściowy. Uzyskano następujące reszty empiryczne

Podpróba1 Podpróba 2 Podpróba 3
2, 8  −2, 3  0, 0
−1, 0  −1, 6  −1, 2
−3, 5  0, 9  −0, 1
−0, 3  −2, 6  0, 7
0, 6  0, 3  0, 6
2, 8  −0, 2  −1, 1
−1, 7  −1, 9  1, 7
0, 8  3, 6  0, 3
−0, 6  −0, 6  −1, 0
0, 1  4, 4  0, 1

Co można powiedzieć o estymatorach parametrów strukturalnych modelu wyjściowego?