Zadania z EK2. Seria 4. Autokorelacja składnika losowego

Zad. 1 Zastosowanie KMNK przyniosło następujące rezultaty ŷ_{i} = 12, 3 + 17, 5x_{1,i} + x_{2,i}

\begin{matrix}t & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\ e_{i} & −3 & 5 & 1 & −3 & 0 & 2 & 0 & −2 & −1 & 3 & 5 & −1 & −6 & 3 & −3 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} ,

gdzie e_{i} oznacza reszty. Czy można uznać, że przyjęto właściwą postać funkcyjną, zakładając iż zarówno dobór zmiennych objaśniających, jak i struktura dynamiczna modelu są poprawne? Czy estymator był nieobciążony i najbardziej efektywny? Zad. 2 Estymując parametry modelu ekonometrycznego na próbie 1980 − 1996, otrzymanego

ln d̂_{i} = 3 − 0, 6 ln p_{i} + 0, 3 ln y_{i}, D-W = 1, 35,

gdzie d-popyt na pewne dobro, p-cena tego dobra, y-dochody. Krytycy wysunęli przypuszczenie, że elastyczność popytu na zmiany dochodów została niedoszacowania w wyniku pominięcia ważnej zmiennej objaśniającej - ceny bliskiego substytutu. Zakładając, że przejawem tego może być autokorelacja składnika losowego, oceń model mając do dyspozycji następujące informacje

ˆê_{i} = 0, 18 − 0, 006p_{i} + 0, 12y_{i} + 0, 08ε̂_{i−1}, R^{2} = 0, 35.

Zad. 3 Model tendencji rozwojowej, którego parametry oszacowano MNK ma postać ŷ_{i} = 18 + 2i, i = 1, 2, ..., 15. Należy sprawdzić, za pomocą testu Durbina-Watsona, czy w modelu występuje autokorelacja składnika losowego wiedząc, że ∑_{i=2}^{15} e_{i−1} = 2. Informacje pomocnicze:

1. wszystkie elementy wektora v = [e_{i}e_{i−1}] są dodatnie jedynie dla t = 5 oraz t = 12 są mniejsze od zera

2. wektor kwadratów reszt jest następujący

e^{2} = [4, 4, 4, 1, 1, 1, 4, 4, 16, 4, 4, 1, 1, 4, 4, 4]^{T} .

Zad. 4 Za pomocą KMNK oszacowano parametry modelu i otrzymano ŷ_{i} = 18 + 2x_{i}. Jednocześnie wiadomo, że kwadraty reszt ułożyły się w następujący ciąg:

e^{2} = [4, 4, 4, 1, 1, 1, 4, 4, 16, 4, 4, 1, 1, 4, 4, 4]^{T}

natomiast ∑_{i=3}^{15} e_{i−1} = 4. Reszty ułożyły się w 3 serie o długościach odpowiednio 4, 7 oraz 4 obserwacje. Stosując test D-W zweryfikuj hipotezę o sferyczności składnika losowego. Zad. 5 Na podstawia próby liczącej 30 obserwacji dokonano estymacji KMNK parametrów modelu y_{i} = α_{0} + α_{1}x_{i} + α_{2}y_{i−1} + α_{3}x_{i−1} + ε_{i} i otrzymano

α̂_{0} = 7, 46, α̂_{1} = 0, 79, α̂_{2} = −0, 45, α̂_{3} = 0, 32.

Ponadto σ̂α̂_{1} = 0, 05, σ̂α̂_{2} = 0, 18, σ̂_{α_{3}} = 0, 07, R^{2} = 0, 97, D − W = 2, 3. Dokonaj weryfikacji hipotezy o występowaniu autokorelacji składnika losowego Zad. 6 Do estymacji parametrów modelu opisującego zależność plonów pszenicy (w kwintalach z hektara) od zużycia nawozów mineralnych (w kilogramach) użyto KMNK i otrzymano

ŷ_{i} = 15, 767 + 0, 076x_{i}, R^{2} = 0, 869, σ̂α̂_{0} = 0, 782, σ̂α̂_{1} = 0, 006, ∑_{i=2}^{N}(e_{i} − e_{i−1})^{2} = 116, 966

oraz ∑_{i=1}^{N} e_{i}^{2} = 44, 850, N = 40. Oceń wyniki badania. Zad. 7 Oszacuj parametry modelu y_{i} = α_{0} + α_{1}y_{i−1} + ε_{i} jeżeli

∑_{i=2}^{21} y_{i−1}y_{i} = 100, 108, ∑_{i=1}^{20} y_{i}^{2} = 20, det(X^{T} X) = 544, ∑_{i=3}^{21}(e_{i} − e_{i−1})^{2} = 5

oraz σ̂ = 0, 5, D − W = 0, 5. Oceń czy w modelu występuje autokorelacja składnika losowego.