Zadania z EK2. Seria 3. MNK z warunkami na parametry

Warunki poboczne Bα = b, macierz p × (k + 1), b wektor p × 1, α wektor parametrów.

α̂^{∗} = α̂ − (X^{T} X)^{−1}B^{T} [B(X^{T} X)^{−1}B^{T}]^{−1}(Bα̂ − b)

Zad. 1 Pokaż, że α̂ jest nieobciążonym estymatorem parametru α w modelu z ograniczeniami. Udowodnij, że wariancja tego estymatora jest równa

D^{2}(α̂^{∗}) = D^{2}(α̂)[I − B^{T} [B(X^{T} X)^{−1}B^{T}]^{−1}B(X^{T} X)^{−1}].

Zad. 2 Model ma postać

y_{i} = α_{0} + α_{1}x_{1,i} + α_{2}x_{2,i} + α_{3}x_{3,i} + ε_{i}.

Wiadomo, że parametry strukturalne tego modelu spełniają następujący układ równań

α_{1} = 0, 5, \frac{α_{0}}{α_{3}} + \frac{1}{α_{1}} = 1, 2, α_{2} + α_{3} = 0, 8.

Zapisz podane restrykcje w formie macierzowej. Zad. 3 Model ma postać

y_{i} = α_{0} + α_{1}x_{1,i} + α_{2}x_{2,i} + α_{3}x_{3,i} + ε_{i}.

Czy można estymować parametry modelu, jeśli przyjęto dodatkowe warunki

α_{1} + α_{2} = 1, , α_{0} = −2, \frac{α_{2}}{α_{3}} = 5, α_{3} = (1 − α_{1})/5.

Jeśli tak to zapisz restrykcje w formie macierzowej. Zad. 4 W wyniku estymacji parametrów otrzymano model

ȳ_{i} = 1, 21 + 0, 91x_{1,i} + 0, 09x_{2,i} − 1, 499x_{3,i}.

Wiedząc, że próba liczyła 19 obserwacji, oceń czy parametry strukturalne spełniają podany zbiór warunków.

α_{1} + α_{2} = 1, \frac{α_{1}}{α_{2}} = 0, 6, α_{2} + α_{3} = −0, 5, α_{3} = −α_{1}.

Zad. 5 Rozważ model y_{i} = α_{1}x_{1,i} + α_{2}x_{2,i} + ε_{i}. Dokonaj estymacji parametrów modelu przy wraunku α_{1} + α_{2} = 1, jeśli wiadono, że

∑_{i=1}^{10} x_{1,i}^{2} = 100, ∑_{i=1}^{10} x_{1,i}x_{2,i} = 25, ∑_{2,i}^{10} = 120, X^{T} Y = [ \begin{matrix}60 \\ 106 \end{matrix} ]

Zad. 5 Rozważ model MNK w którym α_{0} + α_{1} + α_{2} = 1, oraz

(X^{T} X)^{−1} := \frac{1}{24} [ \begin{matrix}6 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{matrix} ]

Niech ponadto ȳ = 1, ∑_{i=1}^{8} x_{1,i}y_{i} = 10, ∑_{i=1}^{8} x_{2,i}y_{i} = 12 Oblicz estymator α̂^{∗}.

Zad. 6 Dany jest model y_{i} = α_{0} + α_{1}x_{1,i} + α_{2}x_{2,i} + ε_{i} oraz następujące informacje

(X^{T} X) = \frac{1}{108} [ \begin{matrix}27 & · & · \\ −18 & · & · \\ · & · & 36 \end{matrix} ] , ∑_{i=1}^{12} x_{1,i}y_{i} = 9, ȳ = 0, 5

Wiadomo iż oszacowanie wyrazu wolnego wyniosło 1 natomiast wartość odpowiedniej statystyki t równa się 2. Oszacuj pozostałe parametry modelu i wyznacz współczynnik determinacji R^{2}.