Zadania z EK2. Seria 2. Testowanie hipotez

Współczynnik determinacji

R^{2} := 1 − \frac{∑_{i=1}^{n} e_{i}^{2}}{∑_{i=1}^{n}(y_{i} − ȳ)^{2}} .  (1)

Zad. 1 Przypuśćmy, że testujemy MNK dla modelu y_{i} = β_{0} + β_{1}x_{i}. Znajdź wartość R^{2} w terminach a := ∑_{i=1}^{n}(x_{i} −x̄)(y_{i} −ȳ), b := ∑_{i=1}^{n}(x_{i} −x̄)^{2}, c := ∑_{i=1}^{n}(y_{i} −ȳ)^{2}. Oblicz R^{2}, jeśli a = 5, b = 10, c = 10.

Zad. 2 Co się dzieje z R^{2} jeśli przybywa nam obserwacji? Oblicz R^{2} jeśli w modelu mam k zmiennych objaśniających i k obserwacji (niech β_{0} = 0). Ile trzeba wziąć obserwacji, jeśli nie zakładamy β = 0, żeby na pewno otrzymać takie samo R^{2}. Zad. 3 Załóżmy, że mamy n prób z rozkładu normalnego N (m, σ^{2}), gdzie nie znamy ani m ani σ. Znajdź estymator nieobciążony o minimalnej wariancji dla parametru σ^{2}. Zad. 4 Udowodnij, że dobrym estymatorem wariancji wektora b jest D(b) = S_{e}^{2}(X^{T} X)^{−1}, gdzie e jest wektorem reszt, a

S_{e}^{2} = \frac{1}{n − k − 1} ∑_{k=1}^{n} e_{i}^{2}.

Dzięki temu otrzymujemy metodę szacowania wariancji poszczególnych parametrów β_{j}. To znaczy S_{b_{j}}^{2} = d_{j,j}, gdzie d_{j,j} jest elementem macierzy D(b). Zad. 5 Przypuśćmy, że wyestymowaliśmy model

ŷ_{i} = 87, 50 + 0, 55x_{i}, i = 1, 2, ..., 8

Obliczamy ∑_{i=1}^{n}(x_{i} − x̄)^{2} = 180000, x̄ = 450, S_{e} = 45. Oblicz wariancje poszczególnych błędów. Zad. 6 Rozważmy następujący przykład

\begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ x_{i} & 200 & 300 & 400 & 400 & 500 & 500 & 600 & 700 \\ y_{i} & 150 & 250 & 300 & 350 & 400 & 380 & 450 & 400 \end{matrix}

Oblicz estymator wariancji S_{e}.