Zadania z EK2. Seria 1. MNK i MNW

Jednorównaniowy model ekonometryczny z jedną zmienną objaśniającą

y_{i} = β_{0} + β_{1}x_{i} + ε_{i}  (1)

Zad. 1 Niech x̄, ȳ będą średnimi w próbkach X i Y (to znaczy x̄ = (x_{1}+...+x_{n})/n, ȳ = (y_{1}+...+y_{n})/n). Pokaż, że w przypadku modelu (1) estymatory MNK parametów β_{0} i β_{1} zadane są wzorami

b_{0} = ȳ − b_{1}x̄, b_{1} = \frac{∑_{i=1}^{n}(x_{i} − x̄)(y_{i} − ȳ)}{∑_{i=1}^{n}(x_{i} − x̄)^{2}}.

Wartościami teoretycznymi zmiennej objaśnianej nazywa się ŷ_{i} = b_{0} + b_{1}x_{i}. Zad. 2 Przy klasycznym założeniu ’homoskedatyczności’ tzn. ε_{i} niezależne zmienne losowe z rozkładu N (0, σ^{2}), znajdź E(b_{0}, b_{1}) oraz macierz kowariancji (2 × 2) Cov(b_{0}, b_{1}). Zad. 3 Metodą MNK oszacowano dwa modele: ŷ_{i} = b_{0} −b_{1}x_{i} oraz x̂_{i} = a_{0} +a_{1}y_{i}. Czy b_{0} = a_{0} i b_{1} = a_{1}.

Zad. 4 Oszacować parametry modelu y_{i} = β_{0} + β_{1}x_{i} + ε_{i} i = 1, ..., 10 jeśli

∑_{i=1}^{10} x_{i} = 30, ∑_{i=1}^{10} y_{i} = 40, ∑_{i=1}^{10} x_{i}^{2} = 100, ∑_{i=1}^{10}(x_{i} − x̄)(y_{i} − ȳ) = 50.

Zad. 5 Na podstawie tej samej próby trzema róznymi metodami oszacowano parametry pewnego modelu. Otrzymano nastepujące wektory reszt

a = [1, −2, 0, 5, −1, −3], b = [2, −2, 6, 4, −5, −6], c = [2, −2, 6, −6, −1, 1].

Wiadomo, że jedną z zastosowanych metod jest MNK. Który wektor reszt odpowiada tej metodzie? Jednorównaniowy model ekonometryczny z wieloma zmiennymi objaśniającymi

y_{i} = β_{0} + β_{1}x_{1,i} + β_{2}x_{2,i} + ... + β_{k}x_{k,i} + ε_{i}, i = 1, 2, ..., n.  (2)

W zapise macierzowym Y = Xβ + ε. Zad. 6 Udowonij, że estymator MNK dla (2) zadany jest wzorem b = (X^{T} X)^{−1}X^{T} Y. Zad. 7 Oblicz Eb oraz macierz kowaraiancji (n + 1) × (n + 1) Covb. Zad. 8 Dokonać esytmacji parametrów w modelu

y_{i} = β_{0} + β_{1}x_{1,i} + β_{2}x_{2,i} + ε_{i}

w opraciu o pewne dane statsytsyczne z lat 1998-2002, jesli wiadomo, że

(X^{T} X)^{−1} = \frac{1}{24} [ \begin{matrix}u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} \\ u_{2,1} & u_{2,2} & u_{2,3} \\ u_{3,1} & u_{3,2} & u_{3,3} \end{matrix} ] ,

gdzie u_{1,1} = 6, u_{2,1} = 1, u_{2,3} = 0, u_{2,2} = 5 u_{3,1} = 2, u_{3,3} = 4 oraz ȳ = 1, ∑_{i=1}^{8} x_{1,i}y_{i} = 10, ∑_{i=1}^{8} x_{2,i}y_{i} = 12. Zad. 9 Wiadomo,że zachodzą zależności

x_{1i} + x_{2i} = x_{4i}, \frac{x_{4i}}{x_{5i}} = x_{6i}, x_{3,i} + 2x_{5,i} = 1, \frac{x_{1i}}{x_{6i}} = 1, i = 1, 2, ..., n.

Których modeli nie można szcować MNK i dlaczego 1. y_{i} = β_{0} + β_{1}x_{1,i} + β_{2}x_{2,i} + β_{3}x_{3,i} + ε_{i},

2. y_{i} = β_{0} + β_{1}x_{1,i} + β_{2}x_{2,i} + β_{4}x_{4,i} + ε_{i},

3. y_{i} = β_{0} + β_{1}x_{1,i} + β_{3}x_{3,i} + β_{5}x_{5,i} + ε_{i},

4. y_{i} = β_{0} + β_{3}x_{3,i} + β_{4}x_{4,i} + β_{6}x_{6,i} + ε_{i},

5. y_{i} = β_{0} + β_{2}x_{2,i} + β_{3}x_{3,i} + β_{4}x_{4,i} + β_{5}x_{5,i} + β_{6}x_{6,i} + ε_{i},

6. y_{i} = β_{0} + β_{4}x_{4,i} + β_{5}x_{5,i} + β_{6}x_{6,i} + ε_{i}. MNW. Niech (X, B, P) będzie przestrzenią statystyczną. Przypuśćmy, że P = (P_{α})_{α∈A}, gdzie A ⊂ ℝ^{k}. Zakładamy, że na A istnieje miara μ, która dominuje wszystkie P_{α}. Funkcją wiarygodności nazywamy

L(x, α) = f(x, α),

gdzie f jest gęstością rozkładu P_{α} względem miary μ. Definicja 1 Estymatorem MNW parametru α nazywamy statystykę α̂(x) dla której

L(x, α̂(x)) = sup_{α∈A} L(x, α).

Zad 10 Niech (x_{1}, ..., x_{n}) będzie próbą z rozkładu B(1, p), p ∈ [0, 1]. Znajdź estymator MNW parametru p. Zad 11 Niech (x_{1}, ..., x_{n}) będzie próbą z rozkładu U(0, a), a > 0. Znajdź estymator MNW dla parametru a. Zad 12 Niech (x_{1}, ..., x_{n}) będzie próbą z rozkładu normalnego N (m, σ^{2}), σ > 0, m ∈ ℝ. Znajdź estymator MNW dla parametrów m i σ^{2}. Zad 13 Niech (x_{1}, ..., x_{n}) będzie próbą z rozkładu wykładniczego Exp(λ), λ > 0. Znajdź estymator MNW funkcji niezawodności e^{−λz}, gdzie z jest ustaloną liczbą dodatnią.