Dlaczego warto studiować metody numeryczne?
Trudno wyobrazić sobie współczesny świat bez obliczeń komputerowych i symulacji. Poza teorią i eksperymentem, jest to niezbędne narzędzie pracy w bardzo wielu dziedzinach nauki i gospodarki opartej na wiedzy.
Wyzwania obliczeniowe, jakie stawia przed nami świat, nie zawsze dają sprowadzić się do napisania kilku linijek kodu w MATLAB-ie, czy w Mathematice. A nawet jeśli, to bywa, że tych kilka linijek kodu wykonuje się na komputerze przez wiele dni, zanim dostaniemy pożądany rezultat. Jednak okazuje się, że często te same zadania przy odrobinie(?) wiedzy, doświadczenia i pomysłowości dają się rozwiązać szybko, dokładnie i elegancko. Czasem droga wiedzie przez dowód nowego twierdzenia, a czasem kluczem jest dobranie lepszego algorytmu lub jego implementacji.
Matematyka obliczeniowa od pięćdziesięciu lat przeżywa niebywały rozkwit (patrz wykres po lewej), a jej fundamenty kładli tacy giganci jak Gauss, Newton, Euler i Lagrange. Dzięki postępowi w teorii algorytmów numerycznych, a także szybko rosnącym możliwościom komputerów (zob. wykres po prawej), można dziś rozwiązywać problemy, które niedawno uznawano za niemożliwe do rozwiązania.
Wkraczając na ścieżkę magisterską Matematyka obliczeniowa masz okazję zapoznać się ze współcześnie używanymi metodami numerycznymi, przyjrzeć się od środka ich możliwościom - i ograniczeniom, a jednocześnie pogłębiać swoje zainteresowania, czy to związane z naszą specjalizacją, czy też z innymi obszarami matematyki stosowanej.
Nasi absolwenci znajdują dobrą, zgodną z ich zainteresowaniami pracę. Poza karierą — nie tylko akademicką! — w naukach obliczeniowych, czy szerzej: w matematyce stosowanej, specjalizują się w innych obszarach nauki (np. fizyce laserów), lądują w zagranicznych instytucjach finansowych, prowadzą własne firmy konsultingowe oparte na wiedzy, itd.
Jak studiować metody numeryczne?
Aby ukończyć ścieżkę magisterską Matematyka obliczeniowa, której seminarium magisterskim są Metody numeryczne, należy zaliczyć
- Przedmiot podstawowy:
- Dwa przedmioty uzupełniające, z niżej wymienionych:
Jeśli traktujesz metody numeryczne jako główną ścieżkę dalszego rozwoju naukowego/zawodowego, warto wybrać więcej niż dwa przedmioty z tej listy, uzupełniając je wykładami monograficznymi z zakresu numeryki; ale zalecamy też uczęszczanie na seminaria i przedmioty nie-numeryczne: to dobre dla ogólnego rozwoju!
Jeśli metody numeryczne są dla Ciebie raczej środkiem, a nie ostatecznym celem, sugerujemy, by ograniczyć wybór z powyższej listy do tych przedmiotów, które będą Ci potrzebne do napisania dobrej pracy (prowadzący seminarium podpowiedzą). Pozostałe przedmioty lepiej uzupełnić tematyką z dziedziny, która Cię interesuje.
Aby pisać pracę magisterską z metod numerycznych, nie musisz wybrać seminarium Metody numeryczne jako seminarium magisterskiego (choć zachęcamy Cię do właśnie takiej decyzji!). Byłoby jednak wskazane wybrać je przynamniej jako seminarium monograficzne, dzięki czemu będziesz mieć okazję omówić swoje rezultaty wśród osób zorientowanych w temacie.
Pisanie pracy magisterskiej zajmuje sporo czasu. Zależy nam, podobnie jak Tobie, by to była dobra praca, której ostateczny efekt przyniesie Ci dużo satysfakcji. Dlatego warto wybrać temat jeszcze w pierwszym semestrze: potem może Ci się przytrafić wyjazd na Erasmusa, oferta stażu w firmie, itp. co może utrudnić obronę w terminie. Zgodnie z regulaminem MIMUW, musisz mieć zatwierdzony temat pracy najpóźniej na koniec pierwszego roku (to jest warunek zaliczenia każdego seminarium magisterskiego na MIMUW).
Tematy prac magisterskich z metod numerycznych
Propozycje nowych tematów
Aby pisać pracę magisterską z metod numerycznych, nie musisz wybrać seminarium Metody numeryczne jako seminarium magisterskiego (choć zachęcamy Cię do właśnie takiej decyzji!). Byłoby jednak wskazane wybrać je przynamniej jako seminarium monograficzne, dzięki czemu będziesz mieć okazję omówić swoje rezultaty wśród osób zorientowanych w temacie.
- Efektywne numeryczne całkowanie na obszarach nieograniczonych
- Zadanie całkowania numerycznego z wagą funkcji określonej na zbiorze nieograniczonym można spróbować rozwiązać poprzez sprowadzenie zadania za pomocą odpowiedniej zamiany zmiennych do całkowania na obszarze ograniczonym, takim jak np. kostka jednostkowa,
a następnie zastosowanie znanych już kwadratur. To z pozoru łatwe zadanie okazuje się nietrywialne gdy zauważymy, że różne, zdawałoby się rozsądne, zamiany zmiennych mogą prowadzić do bardzo różnych wyników. Praca polegałaby na analizie teorytycznej problemu optymalnego wyboru zamiany zmiennych i przeprowadzeniu odpowiednich testów numerycznych.
Leszek Plaskota
- Ekstremalne zadanie własne dla laplasjanu grafu
- Okazuje się, że wektory własne odpowiadające specyficznym wartościom własnym tzw. macierzy laplasjanu są wykorzystywane m.in. w zadaniu klasyfikacji, spotykanym w uczeniu maszynowym. Celem pracy jest wybór, implementacja i testy metody wyznaczającej takie wektory w przypadku, gdy macierz jest dużego rozmiaru.
Piotr Krzyżanowski
- Wymierne krzywe geometrycznie sklejane
- Gladka krzywa lub powierzchnia moze byc opisana przy uzyciu nie-gladkich parametryzacji. Z drugiej strony, gladkosc (tj. istnienie wielu ciaglych pochodnych) parametryzacji nie gwarantuje gladkosci krzywej, ktora moze miec np. punkty nieciaglosci stycznej. Gladkosc ksztaltu obiektow krzywoliniowych ma istotne znaczenie w projektowaniu wspomaganym komputerem i dlatego ten temat jest intensywnie badany, w celu matematycznego zrozumienia pojecia gladkosci i opracowania efektywnych algorytmow przetwarzania krzywych i powierzchni. Jednym z pomyslow jest zastosowanie tzw. krzywych beta-sklejanych. Maja one parametryzacje sklejana (tj. kawalkami wielomianowa), ktora jest ciagla, ale ma nieciagla pochodna. Mimo to taka reprezentacja umozliwia projektowanie krzywych gladkich. Znaczne poszerzenie mozliwosci modelowania daje uzycie parametryzacji kawalkami wymiernych, jednak stosunkowo niewiele publikacji dotyczy krzywych opisanych przez sklejane nie-gladkie parametryzacje wymierne. Celem pracy jest zbadanie tego tematu i opracowanie podstawowych algorytmow przetwarzania takich krzywych.
Przemysław Kiciak
- Liniowa elastyczność
- Należy przedstawić analizę metody elementu skończonego w najprostszej wersji do zadania liniowej elastyczności.
Należy wykazać oszacowanie błędu i zbieżność metody oraz opcjonalnie proste eksperymenty w 2 wymiarach.
Leszek Marcinkowski
- Powierzchnie reprezentowane za pomoca siatek
- Tzw. siatka jest struktura danych umozliwiajaca reprezentowanie powierzchni wielosciennych lub gladkich o arbitralnie ustalonej topologii (np. dysku, walca, torusa z jedna lub wieloma otworami itp.). Istnieje wiele algorytmow przetwarzania takich siatek, np. zageszczanie, wytwarzajace ciag siatek zbiezny do gladkiej powierzchni granicznej, sklejanie lub rozcinanie siatek, operacje eulerowskie, konstrukcyjna geometria bryl itd. Celem pracy moze byc implementacja wybranych operacji, a takze badanie wlasnosci powierzchni granicznych dla pewnych (nie opisanych dotad w literaturze) operatorow zageszczania. Praktycznym zastosowaniem wynikow pracy moze byc drukowanie 3D.
Przemysław Kiciak
- Symulacje transport ładunku w materiale półprzewodnikowym w modelu uwzględniającym czas
- Jedną z zasadniczych metod badania elektrycznych własności urządzeń półprzewodnikowych, takich jak tranzystory, diody LED czy lasery, są symulacje oparte o model dryfowo-dyfuzyjny. Jest to układ trzech nieliniowych eliptycznych równań różniczkowych. Praca polega na opracowaniu dyskretyzacji jednowymiarowego nieliniowego układu dryfowo-dyfuzyjnego w wersji zależnej od czasu. Celem jest zbadanie zbieżności rozwiązań dyskretnych dla wybranych metod dyskretyzacji oraz analiza zbieżności wybranej metody rozwiązania uzyskanego równania nieliniowego.
Konrad Sakowski
- Dyfuzja w kompozycie
- Celem pracy jest zbadanie kilku metod aproksymacji rozwiązań równania dyfuzji $$-div( \alpha(x) \nabla u) = f,$$ w którym współczynnik $\alpha(x)$ jest kawałkami stały i może mieć skoki o kilka rzędów wielkości. Piotr Krzyżanowski
- Element typu h-p
- Należy przedstawić element typu h-p, zastosowany do zadań stacjonarnych eliptycznych drugiego rzędu.
Oszacowanie błędu - prosta jedno lub dwuwymiarowa implementacja.
Leszek Marcinkowski
- Czy algorytmy liniowe są optymalne dla zadań liniowych?
- Algorytmy rozwiązujące zadania liniowe takie jak całkowanie czy aproksymacja funkcji zwykle zależą liniowo od danych. (Przykładem są kwadratury.) Powstaje więc pytanie czy zawsze tak jest, tzn. czy algorytmy optymalne są zawsze liniowe. Odpowiedź zależy oczywiście od danego zadania i przyjętego modelu błędu i kosztu algorytmu. To raczej teoretyczna praca; polegałaby na zebraniu i jednolitym opracowaniu wyników na ten temat.
Leszek Plaskota
- Kinematyka prosta i odwrotna
- Lancuchy kinematyczne sa zespolami obiektow (tzw. czlonow) polaczonych w pary kinematyczne, takie jak zawias lub para przesuwna. Polozenie wszyskich czlonow lancucha jest opisane za pomoca tzw. zmiennych artykulacji. Znalezienie tych polozen, jesli parametry artykulacji sa dane, to tzw. zagadnienie kinematyki prostej. Jesli zas nalezy obliczyc wartosci parametrow dla zadanego polozenia pewnych czlonow lancucha, to mamy do czynienia z zadaniem kinematyki odwrotnej. Zadanie to w ogolnosci polega na rozwiazaniu pewnego ukladu (zwykle kilku do kilkudziesieciu) rownan nieliniowych. Celem pracy jest dobranie najbardziej odpowiednich metod numerycznych do tego zadania i zaimplementowanie algorytmu dla programu realizujacego animacje komputerowa. Efekt zachwyci nawet Twoich dalszych znajomych!
Przemysław Kiciak
- Metody quasi Monte-Carlo dla całkowania funkcji wielu zmiennych
- Współczesne skomplikowane modele matematyczne zjawisk rzeczywistych wymagają często obliczania całki (wartości oczekiwanej) funkcji bardzo wielu zmiennych. Narzucające się metody tensorowe bazujące na kwadraturach dla funkcji jednej zmiennych nie są żadnym rozwiązaniem problemu ze względu na zjawisko przekleństwa wymiaru. Powszechnie stosowaną jest więc niedeterministyczna metoda Monte-Carlo, której zbieżność nie zależy od wymiaru. Szybkość zbieżności nie jest jednak imponująca, a poza tym wynik ma charakter losowy. Dlatego w ostatnich latach metody Monte Carlo są zastępowane metodami quasi-Monte Carlo (QMC), które są szybciej zbieżnymi deterministycznymi odpowiednikami Monte Carlo. Praca polegałaby na opisie istoty metod QMC i praktycznym zastosowaniu kilku jej wariantów.
Leszek Plaskota
- Badanie zbieżności dyskretyzacji równań różniczkowych drugiego rzędu w kontekście modelowania układów cząstek metodami ab initio
- Modelowanie ab initio (z pierwszych zasad) pozwala na badanie oraz wyjaśnianie podstawowych własności materiałów przy pomocy symulacji komputerowych, bez potrzeby wykonywania złożonych i kosztownych eksperymentów fizycznych. Modele takie często opierają się o równania różniczkowe. Jedną z podstawowych metod przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych jest ograniczenie zakresu szukanych funkcji do przestrzeni funkcji skończonego wymiaru. Ogólną metodą tworzenia takich przestrzeni jest metoda elementu skończonego, która daje bardzo dobre wyniki w wielu przypadkach. W modelach ab initio stosowane są jednakże także inne bazy, mniej ogólne, ale lepiej dopasowane do problemu, które pozwalają na znaczne przyspieszenie wykonywanych obliczeń. Celem pracy jest analiza zbieżności rozwiązań dyskretnych dla wybranych baz (baza metody elementu skończonego, baza fal płaskich, baza orbitali atomowych) oraz ustalonych równań liniowych drugiego rzędu na podstawie symulacji numerycznych.
Konrad Sakowski
- Równanie różniczkowe z członem nielokalnym
- Rozważamy układ (bardzo) wielu RRZ w którym prawa strona miesza ze sobą niewiadome przez całkowanie. Taki układ ma zastosowanie w modelach biologicznych, opisywanych w literaturze. Należy opracować i przetestować algorytm, który pozwoli efektywnie rozwiązywać ten układ. Równoległość mile widziana, ale nie jest koniecznie wymagana.
Piotr Krzyżanowski
- 👉 Miejsce na Twój temat
- Tradycyjnie, jest możliwość napisania pracy na
inny, własny temat, pod merytoryczną opieką
jednego z nas. Szczegóły do ustalenia.
Jeśli masz pytania lub wątpliwości - napisz maila, lub przyjdź do nas. Namiary znajdziesz
w wydziałowym portalu.
Zapraszamy!
Przykładowe tematy prac obronionych w ostatnich latach
- Konstrukcje optymalnych kwadratur adaptacyjnych dowolnego rzędu - praca teoretyczna, publikowalna.
- hp DGFEM for elliptic equations with discontinuous diffusion coeffcient - praca teoretyczna, z częścią eksperymentalną.
- Aproksymacja i całkowanie funkcji kawałkami gładkich w 2-D - praca teoretyczna
- Wybrane metody numeryczne wyceny opcji barierowych - praca z pogranicza finansów i numeryki: eksperymentalna z częścią teoretyczną
- Metoda dekompozycji przestrzeni i jej zastosowania - praca przeglądowa.
- Implementacja metody bilansu energetycznego przy
użyciu GPU - praca czysto programistyczna.
- Adaptacyjne metody aproksymacji funkcji -
łącząca teorię z praktyką (testami). Materiał do publikacji.
- Preconditioning in mathematical weather forecasts - praca aplikacyjna (programowanie równoległe w FORTRANie), pod egidą IMGW.
- Implementacja wybranych operacji przetwarzania siatek - jak sam tytuł wskazuje, praca implementacyjna (język C).
- Metoda Neumanna-Neumanna. Testy numeryczne - praca eksperymentalna; implementacja w pakiecie PETSc.
- Interpolacja kwaternionowa minimalizująca energię
- praca teoretyczna, ale z zastosowaniami.
