Dynamika holomorficzna
Wykład monograficzny dla IV-V roku matematyki
Rok akademicki 2018/19, semestr zimowy
Prowadzący:  Krzysztof Barański
Prezentacja wykładu na WoW 2015





Skrócony opis: Wprowadzenie do teorii iteracji zespolonych funkcji wymiernych, całkowitych i meromorficznych. Podstawowe pojęcia i metody holomorficznych układów dynamicznych.

Opis: Na wykładzie przedstawione będą podstawowe pojęcia i metody teorii iteracji funkcji holomorficznych (wielomiany, funkcje wymierne, całkowite i meromorficzne) na płaszczyźnie zespolonej. Teoria ta, powstała w latach 1920-1930 dzięki pracom P. Fatou i G. Julii, rozwija się intensywnie od lat 1980-tych w związku z rozwojem technik komputerowych pozwalających na przedstawienie pojawiających się w niej skomplikowanych fraktalnych obiektów. Planuję przedstawić następujące zagadnienia:

1. Wstęp - przykłady dynamiki funkcji holomorficznych.

2. Lokalne zachowanie funkcji holomorficznej wokół punktu stałego - ścieki, źródła, punkty neutralne wymierne i niewymierne.

3. Zbiory Julii dla przekształceń holomorficznych - podstawowe własności.

4. Struktura zbioru Fatou. Baseny orbit przyciągających i parabolicznych, dyski Siegela, pierścienie Hermana, składowe błądzące. Twierdzenie o klasyfikacji. Twierdzenie Sullivana.

5. Punkty krytyczne a dynamika funkcji, hiperboliczne zbiory Julii.

6. Rodzina wielomianów kwadratowych - zbiór Mandelbrota, bifurkacje.

7. Metoda Newtona znajdowania zer funkcji holomorficznych.

8. Zespolona rodzina eksponencjalna. Topologiczne i geometryczne własności zbiorów Julii. Paradoks wymiaru.

9. Inne zagadnienia w zależności od zainteresowań słuchaczy.

Literatura:

A. Beardon, Iteration of Rational Functions, Springer-Verlag, New York, 1991.

W. Bergweiler, Iteration of meromorphic functions, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 2, 151–188. Dostępne online jako preprint.

L. Carleson, T. Gamelin, Complex dynamics, Springer-Verlag, New York, 1993.

J. Milnor, Dynamics in one complex variable, Annals of Mathematics Studies, 160, Princeton University Press, Princeton, 2006. Dostępne online jako preprint.

F. Przytycki, J. Skrzypczak, Wstęp do teorii iteracji funkcji wymiernych na sferze Riemanna, preprint IM PAN 30, 1993. Wersja bez rysunków.

Efekty uczenia: Znajomość podstawowych pojęć i wyników teorii iteracji funkcji holomorficznych (wielomianów, funkcji wymiernych, całkowitych i meromorficznych). Znajomość technik używanych przy analizie dynamiki takich funkcji. Umiejętność samodzielnej analizy literatury naukowej dotyczącej tych zagadnień.

Kryteria oceniania: Egzamin ustny lub wygłoszenie referatu na zadany temat rozszerzający treści wykładu.