Fraktale

wykład monograficzny dla studentów matematyki

(w przypadku obecności studentów obcojęzycznych zajęcia prowadzone w języku angielskim)

rok akademicki 2008/09, semestr letni

Prowadzący: dr Krzysztof Barański


Fraktale to skomplikowane obiekty geometryczne mające cechy samopodobieństwa, tzn. podobieństwa dowolnie małych fragmentów do całości. Można je zdefiniować jako zbiory, których wymiar Hausdorffa jest większy od wymiaru topologicznego. Pojawiają się w naturalny sposób przy badaniu dynamiki różnych układów (np. jako tzw. dziwne atraktory). Przykłady fraktali to zbiór Cantora, trójkąt Sierpińskiego, zbiory Julii, wykresy funkcji nigdzie nie różniczkowalnych typu Weierstrassa i wiele innych. Poza swoimi ciekawymi właściwościami matematycznymi charakteryzują się niezwykłym pięknem.

Na wykładzie przedstawimy następujące zagadnienia:
  1. Definicje i podstawowe własności różnego rodzaju wymiarów w Rn (Hausdorffa, pudełkowy, pakujący).
  2. Podstawowe techniki obliczania wymiarów (rozkład miary, metoda potencjału). 
  3. Twierdzenia o rzutowaniu i przecięciach fraktali.
  4. Zbiory graniczne dla iterowanych układów funkcyjnych (IFS).
  5. Sploty Bernoulliego, wykresy funkcji nieróżniczkowalnych typu Weierstrassa. 
  6. Fraktale w dynamice zespolonej - zbiory Julii dla przekształceń wymiernych, całkowitych i meromorficznych, formalizm termodynamiczny.

Literatura:
  1. K. J. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, J. Wiley & Sons, 1990. 
  2. Ya. B. Pesin, Dimension Theory in Dynamical Systems: Contemporary Views and Applications,Chicago Lectures in Math. Series, the University of Chicago Press, Chicago, 1997.
  3. F. Przytycki i M. Urbański, Fractals in the Plane - the Ergodic Theory Methods, ukaże się w Cambridge University Press, dostępne on-line na http://www.math.unt.edu/~urbanski.



Fractals - a course for students of Mathematics (in English)

academic year 2008/09

lecturer: Krzysztof Barański

Fractals are sets of complicated geometry, exhibiting some kind of self-similarity, i.e. similarity of arbitrarily small parts to the whole set. Mathematically, fractals can be defined as the sets for which the Hausdorff dimension is greater than topological dimension. They appear in a natural way in studying dynamics of various systems, e.g. as so-called strange attractors. Among examples are Cantor sets, Sierpiński triangle, Julia sets, graphs of nowhere-differentiable functions of Weierstrass type and many others. Apart from their mathematical properties, fractals are widely known for their beauty.

During the course, we plan to present the following problems:
  1. Definitions and basic properties of various kinds of dimensions in Rn (Hausdorff, box-counting, packing).
  2. Basic techniques of calculating dimension (mass distribution, potential methods).
  3. Theorems on projections and intersection of fractals.
  4. Limit sets for iterated function systems (IFS).
  5. Bernoulli convolutions, graphs of nowhere-differentiable functions of Weierstrass type.
  6. Fractals in complex dynamics - Julia sets of rational, entire and meromorphic maps, thermodynamic formalism.

Literature:
  1. K. J. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, J. Wiley & Sons, 1990. 
  2. Ya. B. Pesin, Dimension Theory in Dynamical Systems: Contemporary Views and Applications, Chicago Lectures in Math. Series, the University of Chicago Press, Chicago, 1997.
  3. F. Przytycki i M. Urbański, Fractals in the Plane - the Ergodic Theory Methods, to appear in Cambridge University Press, available on-line at http://www.math.unt.edu/~urbanski.